Stochastic control applied in the theory of decision in a discrete time non- dominated multiple-priors framework
Application du contrôle stochastique en théorie de la décision avec croyances multiples et non dominées à temps discret
Résumé
This dissertation evolves around the following thematics: uncertainty, utility functions and no-arbitrage.
In the first chapter, there is no uncertainty and we establish the existence of an optimal portfolio for an investor trading in a multi-period and discrete-time financial market and maximising its terminal wealth expected utility. We consider general non-concave and non-smooth random utility function defined on the half real-line. The proof is based on dynamic programming and measure theory tools.
In the next chapters, we introduce the concept of Knightian uncertainty and adopt the non-dominated multi-priors framework introduced in [25] in discrete time. We first study in the second chapter the notion of quasi-sure no- arbitrage introduced in [25] and propose two equivalent definitions: a quantitative and geometric characterisation. We also introduce a stronger no-arbitrage condition that simplifies some of the measurability difficulties.
In the third chapter, we build on these results to study the maximisation of non-dominated multiple-priors worst- case expected utility for investors trading in a multi-period and discrete-time financial for general concave utility functions defined on the half-real line and unbounded from above. The proof uses again a dynamic programming framework together with measurable selection tools.
Finally the last chapter formulates a utility indifference pricing model for investor trading in a multi-period and discrete-time financial market. We prove that under suitable conditions the utility indifference prices of a contingent claim converge to its superreplication price.
Cette dissertation traite des thématiques suivantes: incertitude, fonctions d’utilité et non-arbitrage.
Dans le premier chapitre, il n’y a pas d’incertitude sur les croyances. Nous établissons l’existence d’un portefeuille optimal pour un investisseur qui opère dans un marché financier multi-période à temps discret et maximise son espérance terminale d’utilité. Les fonctions d’utilité sont aléatoires, non concaves, non continues et définies sur l’axe réel positif. La preuve repose sur de la programmation dynamique et des outils de théorie de la mesure.
Dans les chapitres suivants nous introduisons le concept d’incertitude Knightienne et adoptons le modèle de marché financier multi-période à temps discret avec croyances multiples et non dominées introduit par [25]. Dans le second chapitre, nous étudions la notion de non-arbitrage quasi-sûre introduite dans [25] et en proposons deux formulations équivalentes: une version quantitative et une version géométrique. Nous proposons aussi une condition forte de non-arbitrage permettant de simplifier des difficultés techniques.
Nous utilisons ces résultats dans le troisième chapitre pour résoudre le problème de la maximisation d’espérance d’utilité, sous la plus défavorable des croyances, pour des fonctions d’utilité concaves, définies sur l’axe positif réel et non-bornées. La preuve utilise de la programmation dynamique et des techniques de sélection mesurable.
Finalement, dans le dernier chapitre, nous développons un modèle d’évaluation par méthode d’indifférence d’utilité et démontrons que sous de bonnes conditions, le prix d’indifférence d’un actif contingent converge vers son prix de sur-réplication.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)